Algebra, WS 2009 by Martin Goldstern

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Dann ist R ein K¨ orper oder R = {0}. Beweis. x ∈ R, x = 0 ⇒ xR = {xr | r ∈ R} ist ein Ideal von R (analog zu Z) mit x = x1 ∈ xR ⇒ xR = {0} ⇒ xR = R ⇒ ∃r ∈ R : 1 = xr ⇒ x besitzt ein Inverses. 47 Folgerung. Ein kommutativer Ring R mit Einselement und R = {0} ist ein K¨orper ⇔ R besitzt nur die trivialen Ideale. 48 Satz. Sei (R, +, 0, −, ·) ein Ring. a) Ist π eine Kongruenz auf R, dann ist I := [0]π ein Ideal von R, und es gilt: R/π = R/I = {x + I | x ∈ R}. b) Ist I Ideal von R und π definiert durch xπy :⇔ y − x ∈ I, x, y ∈ R, dann ist π Kongruenz auf R und [0]π = I.

B) Jedes Gesetz, welches in A gilt, gilt auch in A/π, insbesondere ist also i) jede Faktoralgebra einer Halbgruppe eine Halbgruppe, ii) jede Faktoralgebra einer (abelschen) Gruppe eine (abelsche) Gruppe, iii) jede Faktoralgebra eines Vektorraumes ein Vektorraum (vgl. den Begriff Quotienten” raum“ aus der Linearen Algebra), iv) jede Faktoralgebra eines (kommutativen) Ringes ein (kommutativer) Ring, v) jede Faktoralgebra eines Ringes mit Einselement ein Ring mit Einselement, vi) jede Faktoralgebra eines Verbandes (bzw.

Nach dem obigen Satz gilt also: Jede gleichungsdefinierte Klasse ist eine Variet¨ at. Es gilt aber auch die Umkehrung: Jede Variet¨at K ist eine gleichungsdefinierte Klasse. (Satz von Birkhoff) 10 Die einelementige Algebra Zu jedem Typ gibt es eine (bis auf Isomorphie eindeutige) einelementige Algebra dieses Typs. Diese Algebra liegt in jeder Variet¨at. , einer Familie (Aj )j∈J mit J = ∅) auf. Wenn die Menge Γ das Gesetz x = y enth¨alt, dann enth¨alt Mod(Γ) nur einelementige Algebren. 11 Gelegentlich werden wir ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit“ solche Variet¨aten von unse” ¨ ren Uberlegungen ausschließen, oder genauer: nur nicht-ausgeartete Variet¨aten betrachten, und den (meist uninteressanten) Fall der ausgearteten Variet¨aten dem Leser u ¨berlassen.

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