Algebraic Geometry. Proc. conf. Ann Arbor, 1981 by I. Dolgachev

By I. Dolgachev

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Aj s Also gilt A I v = b I . 15 sowie den Zielfunktionsvektor (0, 0, 1). Die Menge I = {3, 4, 7} ist Indexmenge einer Basis der Ecke (1, 1, 0) T . 16 L = x ∈ R3 : x1 = 1 , x1 + 2x2 + x3 = 3 Es folgt ⎛ −( A I )−1 = −( A{3,4,7} )−1 0 = ⎝− 12 1 −1 1 2 0 . ⎞ 0 − 12 ⎠ , 0 so dass die zum Index i = 3 korrespondierende Spalte s = (0, −1/2, 1) T ist. 11) wird für den Index j = 6 angenommen. Die Indexmenge der neuen Basis lautet also I = {4, 6, 7}, und als neue Ecke ergibt sich v = (1, 1/2, 1) T . 11) bestimmte λs kann durchaus Null werden.

Wegen F ⊆ ϕ( ϕ( F )) muss in dieser Ungleichung Gleichheit gelten. Eine die Ordnungsbeziehung umkehrende Bijektion zwischen Verbänden oder Halbordnungen wird Anti-Isomorphismus genannt. 32 Sei P ⊆ R n ein n-Polytop mit 0 ∈ int P. Das Polytop P ist genau dann simplizial, wenn das Polare P◦ einfach ist. 33 Sei P = conv{ p(1), . . 8 dargestellte konvexe Viereck. Dann ist das Polare P◦ = 4 i =1 x ∈ R2 : p(i), x ≤ 1 das gestrichelte Viereck. Die Strecke [0, p(i)] steht senkrecht auf der Geraden Hi : = x ∈ R2 : p(i), x = 1 = aff({ p(i)}∗ ) .

Offensichtlich ist der f -Vektor eine kombinatorische Invariante: Er hängt nur vom kombinatorischen Typ von P ab. Es ist eine interessante – aber auch sehr komplizierte – Frage, welche n-Tupel natürlicher Zahlen f -Vektoren von nPolytopen sind. 19. Bestimmen Sie den f -Vektor des n-dimensionalen Standardwürfels Cn , und beschreiben Sie seinen Seitenverband. Man kann sich fragen, wie „typische“ Polytope aussehen. Eine Konkretisierung dieses zunächst etwas naiv gestellten Problems lässt sich – auf verschiedene Weise – mittels geeigneter stochastischer Begriffe gewinnen.

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